Parábola
Definición
Una parábola es el conjunto
de todos los puntos de un plazo que son equidistantes de un punto fijo llamado
foco y una de recta fija llamada directriz.
Propiedades
geométricas
Aunque la definición original de
la parábola es la relativa a la sección de un cono recto por un plano paralelo
a su directriz, actualmente es más común definir la parábola como un lugar
geométrico:
Una parábola es
el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una recta dada,
llamada directriz, y a un punto exterior a ella, que se denomina foco.
|
De esta forma, una vez fija una
recta y un punto se puede construir una parábola que los tenga por foco y
directriz de acuerdo a la siguiente construcción. Sea T un
punto cualquiera de la recta directriz. Se une con el foco dado F y
a continuación se traza la mediatriz (o perpendicular por el punto
medio) del segmento TF. La intersección de la mediatriz con la
perpendicular por T a la directriz da como resultado un punto P que
pertenece a la parábola. Repitiendo el proceso para diferentes puntos T se
puede aproximar tantos puntos de la parábola como sea necesario.
De la construcción anterior se
puede probar que la parábola es simétrica respecto a la línea perpendicular a
la directriz y que pasa por el foco. Al punto de intersección de la parábola
con tal línea (conocida como eje de la parábola) se le conoce como vértice de
la parábola y es el punto cuya distancia a la directriz es mínima. La distancia
entre el vértice y el foco se conoce como distancia focal o radio
focal.
Semejanza de todas las parábolas
Dado que la parábola es una sección cónica, también
puede describirse como la única sección cónica que tiene excentricidad
. La unicidad se refiere a que todas las parábolas son semejantes,
es decir, tienen la misma forma, salvo su escala.
Desafortunadamente, al estudiar
analíticamente las parábolas (basándose en ecuaciones), se suele afirmar
erróneamente que los parámetros de la ecuación cambian la forma de la parábola,
haciéndola más ancha o estrecha. La verdad es que todas las parábolas tienen la
misma forma, pero la escala (zoom) crea la ilusión de que hay parábolas de
formas diferentes.
Un argumento geométrico informal
es que al ser la directriz una recta infinita, al tomar cualquier punto y
efectuar la construcción descrita arriba, se obtiene siempre la misma curva,
salvo su escala, que depende de la distancia del punto a la directriz.
Aplicaciones prácticas
Una consecuencia de gran importancia
es que la tangente refleja los rayos paralelos al eje de la parábola en
dirección al foco. Las aplicaciones prácticas son muchas: las antenas satelitales y radiotelescopios aprovechan el principio concentrando
señales recibidas desde un emisor lejano en un receptor colocado en la posición
del foco.
La concentración de la radiación solar
en un punto, mediante un reflector parabólico tiene su aplicación en pequeñas
cocinas solares y grandes centrales captadoras de energía solar.
Análogamente, una fuente emisora
situada en el foco, enviará un haz de rayos paralelos al eje: diversas lámparas
y faros tienen espejos con superficies parabólicas reflectantes para poder
enviar haces de luz paralelos emanados de una fuente en posición focal. Los
rayos convergen o divergen si el emisor se desplaza de la posición focal.
Ecuaciones de la parábola
Con el advenimiento de la geometría analítica se inició un estudio de las formas
geométricas basado en ecuaciones y coordenadas.
Una parábola cuyo vértice está en el
origen y su eje coincide con el eje de las ordenadas,
tiene una ecuación de la forma y=ax2 donde el parámetro a especifica la escala de la
parábola, incorrectamente descrita como la forma de la parábola, ya que como se dijo
antes, todas las parábolas tienen la misma forma. Cuando el parámetro es
positivo, la parábola se abre «hacia arriba» y cuando es negativo se abre
«hacia abajo».
Si bien, la expresión en forma de
ecuación no fue posible hasta el desarrollo de la geometría analítica, la
relación geométrica expresada en la ecuación anterior ya estaba presente en los
trabajos de Apolonio,1 y se bosquejará a continuación usando
notación moderna.
Tomando nuevamente la definición de
parábola como sección de un cono recto de forma paralela a la directriz, sea V un punto en el eje y sea QV perpendicular al eje. (QV corresponde al valor x en la versión analítica y PV al valor y). Considerando la sección
circular que pasa por Q y es paralela a la base del cono,
obtenemos H, K paralelos a B y C.
Por el teorema de potencia de un punto:
.
Al ser PM paralela a AC, los triángulos HVP, HKA y BCA son semejantes y así:
.
Usando nuevamente los paralelismos:
.
Despejando HV y VK para sustituir en la fórmula de QV² resulta en
.
Pero el valor de
es una
constante pues no depende de la posición de V,
por lo que haciendo
Arroja la expresión moderna y=ax².
Ecuación general de una parábola
Hasta ahora se han descrito
parábolas con sus ejes paralelos a alguno de los ejes de coordenadas. De esta
forma las fórmulas son funciones de x ó de y. Pero una parábola puede
tener su eje inclinado con respecto a un par de ejes de coordenadas
ortogonales.
La
expresión algebraica que describe una parábola que ocupe cualquier posición
en un plano es:
si y
sólo si
y los coeficientes a y c no
pueden ser simultáneamente nulos
|
Mediante traslaciones y
rotaciones es posible hallar un sistema de referencia en el que la ecuación
anterior se exprese mediante una fórmula algebraica de la forma
,
donde a es distinto de cero.